Question

5．若函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（1+\frac{b}{2}）{x^2}$+2bx在（-3，1）上不是单调函数，则f（x）在R上的极小值为（　　）

• A． $2b-\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}b-\frac{2}{3}$
• C． 0
• D． ${b^2}-\frac{1}{6}{b^3}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b的范围，从而求出函数的单调区间，得到f（2）是函数的极小值即可．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（1+\frac{b}{2}）{x^2}$+2bx，
可得f′（x）=x²-（2+b）x+2b=（x-b）（x-2），
∵函数f（x）在区间（-3，1）上不是单调函数，
∴-3＜b＜1，
由f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜b，
由f′（x）＜0，解得：b＜x＜2，
∴f（x）_极小值=f（2）=2b-$\frac{4}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．