Question

已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，△PBC为正三角形．
（Ⅰ）在平面PCD中作一条与底面ABCD平行的直线，并说明理由；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面PAB；
（Ⅲ）求三棱锥A-PBC的高．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,简单空间图形的三视图

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别取PC、PD中点E、F，连结EF，则EF即为所求（作法不唯一）．
（Ⅱ）过点A作AG⊥BC于G，则AC²+AB²=BC²，即AC⊥AB，由于PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，有PA⊥AC，从而可证AC⊥平面PAB．
（Ⅲ）分别求出V_C-PAB，V_A-PBC的值，从而可解得h的值．

解答： 解：（Ⅰ）分别取PC、PD中点E、F，连结EF，则EF即为所求，下证之：
∵E、F分别为PC、PD中点，∴EF∥CD．
∵EF?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．（作法不唯一）

（Ⅱ）由三视图可知，PA⊥平面ABCD，
BC=2AD=2CD=2，四边形ABCD为直角梯形．
过点A作AG⊥BC于G，则AG=CD=1，GC=AD=1．
∴AC=

AD2+CD2

=

2

，AB=

AG2+BG2

=

2

，
∴AC²+AB²=BC²，故AC⊥AB．
∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC．
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．

（Ⅲ）∵△PBC为正三角形，∴PB=BC=2．
在Rt△PAB中，PA=

PB2-AB2

=

2

．
∴V_C-PAB=

1

3

S_△PAB•AC=

1

3

×(

1

2

×

2

×

2

)×

2

=

2

3

，
V_A-PBC=

1

3

S_△PBC•h=

1

3

×(

3

4

×22)•h=

3

3

h（其中h为三棱锥A-PBC的高）．
∵V_C-PAB=V_A-PBC，
∴h=

6

3

．

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，简单空间图形的三视图，属于基本知识的考查．