Question

已知点A（1，2）、B（-1，2），动点P满足AP⊥BP，若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

-=1的一条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），由动点P满足AP⊥BP，即有x²+（y-2）²=1，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a²＞b²，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．

解答： 解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（-1，2），
动点P满足AP⊥BP，则（x-1）（x+1）+（y-2）²=0，
即有x²+（y-2）²=1，
设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

-=1的一条渐近线为y=

b

a

x，
由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，
则d=

|2a|

a2+b2

＞1，即有3a²＞b²，由于b²=c²-a²，
则c²＜4a²，即c＜2a，则e=

c

a

＜2，由于e＞1，则有1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．