Question

6．（1）已知二项式（x+2）ⁿ展开式中最大的二项式系数为252，求展开式中系数最大的项；
（2）记（x+2）ⁿ展开式中最大的二项式系数为a_n，求证：数列{a_n}单调递增；
（3）给定不小于3的正整数n，试写出数列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）由${∁}_{9}^{4}={∁}_{9}^{5}$=126，${∁}_{10}^{5}$=252，${∁}_{11}^{5}={∁}_{11}^{6}$=462，利用第（2）、（3）题的结论可知：n=10，设（x+2）¹⁰展开式中系数最大的项是T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r2^r．（r=0，1，2，…，10），则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）若n为奇数，则n+1为偶数，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，利用组合数的性质可得a_n+1＞a_n．若n为偶数，则n+1为奇数，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，同理可得：a_n+1＞a_n，即可证明数列{a_n}单调递增．
（3）数列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大．作差如下：${∁}_{n}^{k+1}-{∁}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k）．即可得出：当k＜$\frac{n-1}{2}$时，${∁}_{n}^{k}$＜${∁}_{n}^{k+1}$；当k＞$\frac{n-1}{2}$时，${∁}_{n}^{k}$＞${∁}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．

解答 解：（1）∵${∁}_{9}^{4}={∁}_{9}^{5}$=126，${∁}_{10}^{5}$=252，${∁}_{11}^{5}={∁}_{11}^{6}$=462，
由第（2）、（3）题的结论可知：n=10，
设（x+2）¹⁰展开式中系数最大的项是T_r+1=${∁}_{10}^{r}$x^10-r2^r．（r=0，1，2，…，10），
则$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r-1}•{2}^{r-1}}\\{{∁}_{10}^{r}•{2}^{r}≥{∁}_{10}^{r+1}•{2}^{r+1}}\end{array}\right.$，（其中r=1，2，…，9），即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10！•{2}^{r}}{r!•（10-r）!}≥\frac{10!•{2}^{r-1}}{（r-1）!（11-r）!}}\\{\frac{10!•{2}^{r}}{r!（10-r）!}≥\frac{10!•{2}^{r+1}}{（r+1）!•（9-r）!}}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{r≤\frac{22}{3}}\\{r≥\frac{19}{3}}\end{array}\right.$，（r=1，2，…，9），∴r=7，
展开式中系数最大的项是T₈=${∁}_{10}^{7}•{2}^{7}×{x}^{3}$=15360x³．
（2）若n为奇数，则n+1为偶数，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$，
∴a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n+1}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$+${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞a_n．
若n为偶数，则n+1为奇数，a_n=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}+1}$，
∴a_n+1=${∁}_{n+1}^{\frac{n}{2}}$=${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$+${∁}_{n}^{\frac{n}{2}-1}$＞a_n，
综上可知：数列{a_n}单调递增．
（3）数列{C${\;}_{n}^{k}$}（k=0，1，2，…，n）离首末两端等距离的项相等，且距离越远值越大．
证明如下：${∁}_{n}^{k+1}-{∁}_{n}^{k}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k-1）!}$-$\frac{n!}{k!（n-k）!}$=$\frac{n!}{（k+1）!（n-k）!}$（n-1-2k）．
当k＜$\frac{n-1}{2}$时，${∁}_{n}^{k}$＜${∁}_{n}^{k+1}$；当k＞$\frac{n-1}{2}$时，${∁}_{n}^{k}$＞${∁}_{n}^{k+1}$，其中k=0，1，2，…，n-1．
若n为奇数，${∁}_{n}^{0}$＜${∁}_{n}^{1}$＜${∁}_{n}^{2}$＜…＜${∁}_{n}^{\frac{n-3}{2}}$＜${∁}_{n}^{\frac{n-1}{2}}$，${∁}_{n}^{\frac{n+1}{2}}$＞${∁}_{n}^{\frac{n+3}{2}}$＞…＞${∁}_{n}^{n-1}$＞${∁}_{n}^{n}$，
若n为偶数，${∁}_{n}^{0}$＜${∁}_{n}^{1}$＜${∁}_{n}^{2}$＜…＜${∁}_{n}^{\frac{n-2}{2}}$＜${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$，${∁}_{n}^{\frac{n}{2}}$＞${∁}_{n}^{\frac{n+2}{2}}$＞…＞${∁}_{n}^{n-1}$＞${∁}_{n}^{n}$．

点评 本题考查了二项式定理的通项公式及其展开式的系数的性质、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．