Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PDC是边长为4的正三角形且侧面PDC⊥面ABCD，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证PA∥面EDB；
（Ⅱ）求异面直线PA与DE所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点D到平面PAB的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）通过连接AC交BD于O，连接OE，由于E为PC的中点，底面ABCD为正方形，所以：O为AC的中点．OE∥PA，进一步得到PA∥面EDB；
（Ⅱ）由于OE∥PA，则：异面直线PA与DE所成角即为OE与DE所成的角，因为侧面PDC是边长为4的正三角形所以：DE²=PD²-PE²，
解得：DE=2

3

，做CD的中点F，连接PF和AF，由于侧面PDC⊥面ABCD，所以：PF⊥面ABCD，解得：PF=2

3

，AF=2

5

，所以：AP=4

2

，解得：OE=2

2

，在△DOE中，利用余弦定理：解得：cos∠DEO的值．
（Ⅲ）首先在△PAB中，AB=4，PA=PB=4

2

，所以：S△PAB=

1

2

•4•2

7

=4

7

，则利用：V_D-PAB=V_P-ABD，解得：h=

4 21

7

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接OE，
由于E为PC的中点，底面ABCD为正方形
所以：O为AC的中点．
OE∥PA
OE?平面EDB，
PA?平面EDB
所以：PA∥面EDB；
（Ⅱ）解：由于OE∥PA
则：异面直线PA与DE所成角即为OE与DE所成的角
因为侧面PDC是边长为4的正三角形
所以：DE²=PD²-PE²
解得：DE=2

3

做CD的中点F，连接PF和AF，
由于侧面PDC⊥面ABCD
所以：PF⊥面ABCD
解得：PF=2

3

，AF=2

5

所以：AP=4

2

解得：OE=2

2

在△DOE中，利用余弦定理：DO²=DE²+OE²-2DE•OEcos∠DEO
解得：cos∠DEO=

6

4

（Ⅲ）解：在△PAB中，AB=4，PA=PB=4

2

所以：S△PAB=

1

2

•4•2

7

=4

7

设点D到平面PAB的距离为h，
则：V_D-PAB=V_P-ABD

1

3

•4

7

•h=

1

3

•

1

2

•4•4•2

3

解得：h=

4 21

7

点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定定理，异面直线的夹角，点到平面的距离，体积的转换问题，属于基础题型．