Question

已知{a_n}，{b_n} 均为等差数列，前n项和分别为S_n，T_n．
（1）若平面内三个不共线向量

OA

，

OB

，

OC

满足

OC

=a₃

OA

+a₁₅

OB

，且A，B，C三点共线．是否存在正整数n，使S_n为定值？若存在，请求出此定值；若不存在，请说明理由；
（2）若对 n∈N⁺，有 

Sn

Tn

=

31n+101

n+3

，求使 

an

bn

为整数的正整数n的集合．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：（1）根据平面向量的基本定理和A，B，C三点共线，以及等差数列的性质和求和公式，即可求出定值；
（2）根据等差数列的求和公式得到

an

bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

S2n-1

T2n-1

=

3ln+101

n+3

=31+

4

n+1

，继而求出正整数n的集合．

解答： 解：（1）∵A，B，C三点共线．
∴?λ∈R，使

AC

=λ

AB

，

OC

-

OA

=λ（

OB

-

OC

），
即

OC

=（1-λ）

OA

+λ

OB

，
又平面向量的基本定理得，

1-λ=a3 λ=a15

，消去λ得到a₃+a₁₅=1，
∵a₃+a₁₅=a₁+a₁₇=1，
∴S₁₇=

1

2

×17×（a₁+a₁₇）=

17

2

即存在n=17时，S₁₇为定值

17

2

．

（2）由于

an

bn

=

a1+a2n-1

b1+b2n-1

=

S2n-1

T2n-1

=

3ln+101

n+3

=31+

4

n+1

根据题意n+1的可能取值为2，4，
所以n的取值为1或3，
即使 

an

bn

为整数的正整数n的集合为{1，3}

点评：本题主要考查了向量以及等差数列的通项公式和求和公式的应用．考查了学生创造性解决问题的能力，属于中档题