Question

（2011•顺义区二模）设函数f(x)=ax3-

b

2

x2+c，其图象过点（0，1）．
（1）当方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是

1

2

，1时，求f（x）的解析式；
（2）当a=

2

3

，b≠0时，求函数f（x）的极大值与极小值．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），依题意f（0）=1，方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是

1

2

，1，列方程求解即可得a、b、c的值
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x）=2x(x-

b

2

)，研究函数的单调性需要讨论b的正负，故分b＞0和b＜0两种情况分别讨论函数的单调性和极值即可

解答：解：由题意可知，f（0）=1所以c=1    
（1）由f(x)=ax3-

b

2

x2+1，得f′（x）=3ax²-bx．
因为f′（x）-x+1=0，即3ax²-bx-x+1=0的两个根分别为

1

2

，1
所以

3a× 1 4 - b 2 - 1 2 +1=0 3a-b-1+1=0

解得

a= 2 3 b=2

故f(x)=

2

3

x3-x2+1
（Ⅱ）f(x)=

2

3

x3-

b

2

x2+c
所以，f′(x)=2x2-bx=2x(x-

b

2

)
①若b＞0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当x∈(0，

b

2

)时，f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
当x∈(

b

2

，+∞)时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1，f（x）的极小值为f(

b

2

)=1-

b3

24

②若b＜0，则当x∈(-∞，

b

2

)时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当x∈(

b

2

，0)时，f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为f(

b

2

)=1-

b3

24

，f（x）的极小值为f（0）=1．
综上所述，当b＞0时，f（x）的极大值为1，极小值为1-

b3

24

，
当b＜0时，f（x）的极大值为1-

b3

24

，极小值为

点评：本题考察了导数在函数单调性和极值中的应用，分类讨论的思想方法