Question

6．在锐角三角形ABC，角A．B，C的对边分别为a，b，c，满足向量$\overrightarrow{m}$=（2a-c，b），向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．求t=$\frac{c}{a}$时t的取值范围．

Answer 1

分析 利用向量共线的坐标表示求得B，结合三角形为锐角三角形求得A的范围，然后把t=$\frac{c}{a}$转化为含有A的正切得答案．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（2a-c，b），向量$\overrightarrow{n}$=（cosC，cosB），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，
得（2a-c）cosB-bcosC=0，
结合正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB-sinBcosC=0，
整理得：cosB=$\frac{1}{2}$，∴B=60°．
∵△ABC为锐角三角形，则0°＜A＜90°，且0°＜120°-A＜90°，得30°＜A＜90°．
∴tanA$＞\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则t=$\frac{c}{a}$=$\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin（120°-A）}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA}{sinA}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}tanA}{tanA}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2tanA}$∈（$\frac{1}{2}，2$）．

点评 本题考查了平面向量的坐标运算，考查了三角函数值域的求法，是中档题．