Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$，求证：$\frac{1}{{b}_{2}ln{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}ln{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}ln{b}_{n}}$+$\frac{6{b}_{n}+3}{{a}_{n}}$＞$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）由a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．变形为na_n+1=2S_n+n³+3n²+2n，利用递推式化为na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+3n²+3n，变形为$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$=n，可得$\frac{1}{{b}_{n}ln{b}_{n}}$=$\frac{1}{nlnn}$，$\frac{6{b}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+3}{3{n}^{2}+3n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$．令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}-1$，x∈（1，+∞），利用导数研究其单调性即可得出：$\frac{1}{xlnx}$$＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，令x=2，3，4，…，n，利用“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a₁=6，a_n+1=$\frac{2{S}_{n}}{n}$+n²+3n+2（n∈N^*）．
∴na_n+1=2S_n+n³+3n²+2n，
当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1+（n-1）³+3（n-1）²+2（n-1），
na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+n³+3n²+2n-[（n-1）³+3（n-1）²+2（n-1）]，
化为na_n+1-（n-1）a_n=2a_n+3n²+3n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}$=3，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{n}\}$是等差数列，首项为6，公差为3，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=6+3（n-1）=3n+3，
∴${a}_{n}=3{n}^{2}+3n$．
（2）证明：b_n=$\frac{{a}_{n}}{3（n+1）}$=n，
∴$\frac{1}{{b}_{n}ln{b}_{n}}$=$\frac{1}{nlnn}$，$\frac{6{b}_{n}+3}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+3}{3{n}^{2}+3n}$=$\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$．
令f（x）=lnx-$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}-1$，x∈（1，+∞），
则f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2{x}^{2}}$=$\frac{-（x-1）^{2}}{2{x}^{2}}$＜0，
∴函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴$lnx-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}$-1＜-1，
∴$\frac{1}{xlnx}$$＞\frac{2}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$，
令x=2，3，4，…，n，则$\frac{1}{2ln2}＞$$1-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3ln3}＞\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4ln4}＞\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$，…，$\frac{1}{nlnn}＞\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{b}_{2}ln{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}ln{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}ln{b}_{n}}$＞$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴$\frac{1}{{b}_{2}ln{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}ln{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}ln{b}_{n}}$+$\frac{6{b}_{n}+3}{{a}_{n}}$＞$\frac{3}{2}$（n≥2，n∈N^*）成立．

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列的通项公式、利用导数研究函数单调性、利用单调性证明不等式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．