Question

10．设函数f（x）=asinx+bcosx（a、b为常数）．
（1）若当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值为2，求函数f（x）的解析式及最小正周期；
（2）若a=0，b=2，g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$），写出g（x）的解析式，当x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]时按照“五点法”作图步骤，在表格中完成填空，并画出函数g（x）的图象，写出一个区间D，D∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]中，使得在区间D上，g（x）≤0，且g（x）单调递增．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的最值以及三角函数的辅助角公式建立方程组关系即可得到结论．
（2）利用五点法通过列表，即可得到结论．

解答 解：（1）f（x）=asinx+bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），θ为参数，
则函数的周期T=2π．
∵当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值为2，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2，且asin$\frac{π}{3}$+bcos$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b=2$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
（2）若a=0，b=2，则f（x）=2cosx，
则g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）=2cos（x+$\frac{π}{3}$），
利用五点法进行取值：

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y	2	0	-2	0	2

则对应的图象为：
若g（x）≤0，且g（x）单调递增，
则对应的区间可以是[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及函数图象之间的变化关系．