Question

2．已知双曲线C中心在原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）与其渐近线的距离为$\frac{\sqrt{10}}{5}$，过点P作斜率为$\frac{1}{6}$的直线交双曲线于A、B两点，点A、P、B在x轴上的射影分别是A₁、P₁、B₁，且|P₁O|是|P₁A₁|与|P₁B₁|的等比中项，求双曲线的离心率．

Answer 1

分析 设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），求得渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式，可得a=3b，再由双曲线方程和直线PA方程联立，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，由等比数列的性质可得4=（x₁+2）（x₂+2），代入计算即可得到a，b，进而求得c，再由离心率公式计算即可得到．

解答 解：设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由点P（-2，0）与其渐近线的距离为d=$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
化简可得a=3b，
即有双曲线的方程为x²-9y²=9b²，
过点P作斜率为$\frac{1}{6}$的直线为y=$\frac{1}{6}$（x+2），
代入双曲线方程可得$\frac{3}{4}$x²-x-9b²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，x₁x₂=-12b²-$\frac{4}{3}$，
由|P₁O|是|P₁A₁|与|P₁B₁|的等比中项，
则有|P₁O|²=|P₁A₁|•|P₁B₁|，
即有4=（x₁+2）（x₂+2），
即x₁x₂+2（x₁+x₂）=0，
即为-12b²-$\frac{4}{3}$+$\frac{8}{3}$=0，
解得b=$\frac{1}{3}$，a=1．
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$，
即有双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，同时考查直线和双曲线方程联立，运用韦达定理，以及等比数列的性质，属于中档题．