Question

9．如图，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ACB=$\frac{π}{3}$，点D是线段BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积最大时，求直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证A₁C∥平面AB₁D，可利用线面平行的判定，记A₁B∩AB₁=O，由点D是线段BC的中点，可得A₁C∥OD，然后由线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）法一、由题意可得当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，进一步可得此时三角形ABC为正三角形，然后利用等积法求出点A₁到平面AB₁D的距离d，由sinθ=$\frac{d}{D{A}_{1}}$得答案．
法二、以D为原点，直线DA，DC分别为x，y轴建立空间坐标系，求出平面AB₁D的一个法向量，进一步求出|cos＜$\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|得到直线A₁D与平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：记A₁B∩AB₁=O，OD为三角形A₁BC的中位线，
∵A₁C∥OD，OD?平面A₁BD，A₁C?平面AB₁D
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）解：法一、当三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积最大时，体积最大，
$4=A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2•AC•BC•cos\frac{π}{3}$≥2AC•BC-AC•BC=AC•BC，
当AC=BC，即三角形ABC为正三角形时取最大值．
设点A₁到平面AB₁D的距离为d，由${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}={V}_{C-A{B}_{1}D}={V}_{{B}_{1}-ACD}$，得
$\frac{1}{3}{S}_{△A{B}_{1}D}•d=\frac{1}{6}AD•D{B}_{1}•d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
则sinθ=$\frac{d}{{A}_{1}D}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{35}}{35}$．
法二、如图，
以D为原点，直线DA，DC分别为x，y轴建立空间坐标系，
则A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，-1，0），B₁（0，-1，2），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2）$．
设面AB₁D的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-y+2z=0}\end{array}\right.$，
设y=2，则z=1，∴$\overrightarrow{n}=（0，2，1）$，
又$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（\sqrt{3}，0，2）$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，训练了利用向量法求线面角，考查学生的空间想象能力和运算能力，是中档题．