Question

7．已知数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是等比数列，公比为q，数列{c_n}中，c_n=a_nb_n，S_n是数列{c_n}前n项和，若S_m=11，S_2m=7，S_3m=-201（m为正偶数），则S_4m的值为（　　）

• A． -1601
• B． -1801
• C． -2001
• D． -2201

Answer 1

分析 设等差数列{a_n}的公差为d，由S_n=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}{b}_{1}{q}^{2}$+…+${a}_{n}{b}_{1}{q}^{n-1}$，（q≠1）．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式可得：
S_n=$\frac{{a}_{1}{b}_{1}-{a}_{n}{b}_{1}{q}^{n}}{1-q}$-db₁$\frac{{q}^{n}-q}{（q-1）^{2}}$．不妨取m=2，可得S₂=11，S₄=7，S₆=-201．化简可得：q²=4，b₁（d+dq）=-6，b₁（a₁+a₂q）=11．取q=-2，b₁d=6，a₁b₁=-23．可得：S₈=-201+${a}_{7}{b}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}{b}_{1}{q}^{7}$，代入化简即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
由S_n=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}{b}_{1}{q}^{2}$+…+${a}_{n}{b}_{1}{q}^{n-1}$，（q≠1）．
则qS_n=a₁b₁q+${a}_{2}{b}_{1}{q}^{2}$+…+a_n-1${b}_{1}{q}^{n-1}$+${a}_{n}{b}_{1}{q}^{n}$，
∴（1-q）S_n=a₁b₁+db₁（q+q²+…+q^n-1）-${a}_{n}{b}_{1}{q}^{n}$=a₁b₁+db₁$\frac{q（{q}^{n-1}-1）}{q-1}$-${a}_{n}{b}_{1}{q}^{n}$，
∴S_n=$\frac{{a}_{1}{b}_{1}-{a}_{n}{b}_{1}{q}^{n}}{1-q}$-db₁$\frac{{q}^{n}-q}{（q-1）^{2}}$，
不妨取m=2，
则S₂=11，S₄=7，S₆=-201．
∴a₁b₁+a₂b₁q=11，a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}{b}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}{b}_{1}{q}^{3}$=7，a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}{b}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}{b}_{1}{q}^{3}$+${a}_{5}{b}_{1}{q}^{4}$+${a}_{6}{b}_{1}{q}^{5}$=-201，
可得q²=4，b₁（d+dq）=-6，b₁（a₁+a₂q）=11．
取q=-2，b₁d=6，a₁b₁=-23．
S₈=a₁b₁+a₂b₁q+${a}_{3}{b}_{1}{q}^{2}$+${a}_{4}{b}_{1}{q}^{3}$+${a}_{5}{b}_{1}{q}^{4}$+${a}_{6}{b}_{1}{q}^{5}$+${a}_{7}{b}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}{b}_{1}{q}^{7}$=-201+${a}_{7}{b}_{1}{q}^{6}$+${a}_{8}{b}_{1}{q}^{7}$=-201+（a₁+6d）b₁×64+（a₁+7d）b₁×（-128）
=-201+64（-a₁b₁-8db₁）=-1801，
故选：B．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、取特殊值方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．