Question

已知函数y=f（x）=2

3

sinxcos+2cos²x+a（x∈R），其中a为常数．
（1）求函数y=f（x）的周期；
（2）如果y=f（x）的最小值为0，求a的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题

分析：（1）先利用倍角公式对函数解析式化简，求得函数的周期．
（2）利用（1）中的解析式及f（x）的值求得a，求得函数解析式，最后根据三角函数的性质求得答案．

解答： 解（1）y=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1
∴T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）的最小值为0，
∴-2+a+1=0  
∴a=1
∴函数y=2sin（2x+

π

6

）+2最大值等于为2+2=4
当2x+

π

6

=kπ+

π

2

（k∈Z），即x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）时函数有最大值或最小值，
∴函数f（x）的图象的对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

6

（k∈Z）．

点评：本题主要考查三角函数的周期，三角函数的图象及三角函数恒等变换的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．