【题目】如图 1,在直角梯形中, ,且.现以为一边向外作正方形,然后沿边将正方形翻折,使平面与平面垂直, 为的中点,如图 2.
(1)求证: 平面;
(2)求证: 平面;
(3)求与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)
【解析】试题分析:
(1)取EC中点N,连结MN,BN.由几何关系可证得四边形ABNM为平行四边形.则BN∥AM,利用线面平行的判定定理可得平面;
(2) 由几何关系有ED⊥AD,利用面面垂直的性质定理可得ED⊥平面ABCD,则ED⊥BC,利用直角梯形的性质结合勾股定理可得BC⊥BD,据此由线面垂直的判定定理有平面;
(3) 作平面PEC于点H,连接CH,则∠DCH为所求的角,利用三棱锥体积相等转化顶点有: ,据此可求得,利用三角函数的定义可得与平面所成角的正弦值是.
试题解析:
(1)证明:取中点,连结.
在中, 分别为的中点,
所以,且.
由已知,
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面,且平面,
所以平面.
(2)证明:在正方形中, ,
又因为平面平面,且平面平面,
所以平面.
所以
在直角梯形中, ,可得.
在中, .
所以.
所以平面.
(3)作于点,连接,则为所求的角
由(2)知,
所以,又因为平面
又.
所以,
.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形, 底面,该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.
(1)画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积;
(2)求证: ;
(3)求四棱锥外接球的直径.
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【题目】命题p:关于x的不等式x2+(a﹣1)x+a2≤0的解集为;命题q:函数f(x)=(4a2+7a﹣1)x是增函数,若¬p∧q为真,求实数a的取值范围.
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【题目】函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,可以把函数的图象( )
A. 每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位
B. 每个点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位
C. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D. 先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的(纵坐标不变)
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【题目】设[x]表示不超过x的最大整数,如:[π]=3,[﹣4.3]=﹣5.给出下列命题: ①对任意实数x,都有[x]﹣x≤0;
②若x1≤x2 , 则[x1]≤[x2];
③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg100]=90;
④若函数f(x)= ﹣ ,则y=[f(x)]+[f(﹣x)]的值域为{﹣1,0}.
其中所有真命题的序号是 .
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【题目】已知线段的端点,端点在圆上运动
(Ⅰ)求线段的中点的轨迹方程.
(Ⅱ) 设动直线与圆交于两点,问在轴正半轴上是否存在定点,使得直线与直线关于轴对称?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为 的正方形,AA1=3,E是AA1的中点,过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F,则 =
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【题目】(文科)设函数f(x)=x2﹣2ax﹣8a2(a>0),记不等式f(x)≤0的解集为A.
(1)当a=1时,求集合A;
(2)若(﹣1,1)A,求实数a的取值范围.
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【题目】已知函数 ,且满足.
(1)判断函数在上的单调性,并用定义证明;
(2)设函数,求在区间上的最大值;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
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