Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的两个焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，若△PF₁F₂为直角三角形，则点P到x轴的距离为$\frac{16}{5}$．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a，b，c，利用相互垂直的直线斜率乘积等于-1及其椭圆方程联立解出即可．当PF₂⊥x轴或PF₁⊥x轴时，把x=c=3代入椭圆的方程即可得出．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a²=25，b²=16，c²=a²-b²=9，
①当∠F₁PF₂=90°时，设p（x，y），
则x²+y²=9，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=9}\\{16{x}^{2}+25{y}^{2}=400}\end{array}\right.$，可得方程组无解；
②当PF₂⊥x轴或PF₁⊥x轴时，
把x=c=3代入椭圆的方程可得：$\frac{9}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
解得y=±$\frac{16}{5}$，
可得点P到x轴的距离是$\frac{16}{5}$．
故答案为：$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查运算能力，属于中档题．