Question

5．下列四种说法：
①命题“$若α=\frac{π}{6}，则sinα=\frac{1}{2}$的否命题是假命题；
②p：?x₀∈R，使sinx₀＞1，则?p：?x∈R，sinx≤1；
③“$α=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$”是“函数y=sin（2x+α）为偶函数”的充要条件；
④命题p：“?x∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinx+cosx=$\frac{1}{2}$”，命题q：
“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（￢p）∧q为真命题．
其中正确的说法是①②④．

Answer 1

分析 直接写出命题的否命题判断①；写出特称命题的否定判断②；由充要条件的判断方法判断③；由已知结合正弦定理说明④正确．

解答 解：①命题“若$α=\frac{π}{6}$，则sin$α=\frac{1}{2}$”的否命题是“若$α≠\frac{π}{6}$，则sin$α≠\frac{1}{2}$”，为假命题，①正确；
②p：?x₀∈R，使sinx₀＞1，则?p：?x∈R，sinx≤1，②正确；
③若函数y=sin（2x+φ）为偶函数，则φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），∴φ=$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）不是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，③错误；
④∵sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，当x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，sinx+cosx∈（1，$\sqrt{2}$]．
∴命题p：“?x∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinx+cosx=$\frac{1}{2}$”为假命题，
在△ABC中，若sinA＞sinB，则由正弦定理可知a＞b，∴A＞B．
∴命题q：“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”为真命题，
那么命题（￢p）∧q为真命题，④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，训练了充要条件的判断方法，是中档题．