Question

10．已知函数f（x）=alnx+$\frac{b}{x}$在x=1处有极值-1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{b}{{x}^{2}}$，
由f（x）在x=1处的极值是-1，
故$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a-b=0}\\{f（1）=b=-1}\end{array}\right.$，
解得：a=b=-1；
（2）由（1）f（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$，（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．