Question

15．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF上一动点，满足$\overrightarrow{EM}$=λ$\overrightarrow{EF}$．
（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；
（Ⅱ）当λ=$\frac{1}{3}$时，锐二面角D-AM-B的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{14}$，求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （I）连结OE，根据线面平行的性质可知OE∥AM，故而四边形EMAO为平行四边形，于是$\frac{EM}{EF}=\frac{AO}{AC}$；
（II）以O为原点建立空间坐标系，求出平面ADM和平面ABM的法向量，根据二面角的大小，列方程求出CE，代入棱锥的体积公式即可．

解答 解：（Ⅰ）连接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴△DOC∽△BOA，∴$\frac{AO}{OC}=\frac{AB}{CD}=2$．
∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM?平面ACM，
∴AM∥OE．
又ME∥AO，∴四边形MEOA为平行四边形，
∴EM=AO．
∴$\frac{EM}{EF}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{2}{3}$，即λ=$\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴CE⊥底面ABCD．∵$\frac{EM}{MF}=\frac{OC}{OA}=\frac{1}{2}$，
∴OM⊥底面ABCD．
以O为原点，以OA，OB，OM所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，
设CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=OAB，
∴OA=OB=2$\sqrt{2}$，同理OC=OD=$\sqrt{2}$，
∴A（2$\sqrt{2}$，0，0），B（0，2$\sqrt{2}$，0），D（0，-$\sqrt{2}$，0），M（0，0，a），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-2$\sqrt{2}$，0，a），$\overrightarrow{AD}$=（-2$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$，0）．
设平面AMD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），平面AMB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{x}_{1}+a{z}_{1}=0}\\{-2\sqrt{2}{x}_{1}-\sqrt{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}{x}_{2}+a{z}_{2}=0}\\{-2\sqrt{2}{x}_{2}+2\sqrt{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$
令x₁=x₂=a，得$\overrightarrow{m}$=（a，-2a，2$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{n}$=（a，a，2$\sqrt{2}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{5{a}^{2}+8}\sqrt{8+2{a}^{2}}}$，
∴|$\frac{8-{a}^{2}}{\sqrt{5{a}^{2}+8}\sqrt{8+2{a}^{2}}}$|=$\frac{\sqrt{7}}{14}$，解得：a=2．
∴多面体的体积为V=V_D-ACEF+V_B-ACEF
=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•OD$+$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•OB$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ACEF}•BD$=$\frac{1}{3}×2×3\sqrt{2}×3\sqrt{2}$=12．

点评 本题考查了线面平行的性质，空间向量与空间角的计算，棱锥的体积计算，属于中档题．