Question

6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²=b²+bc，则$\frac{a}{b}$的取值范围是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 由已知及余弦定理可得c=b（1+2cosA），从而可求$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$，由A的范围，利用余弦函数的图象和性质可求$\frac{a}{b}$的范围．

解答 解：∵△ABC中，a²=b²+bc，
又∵由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+bc=b²+c²-2bccosA，整理可得：c=b（1+2cosA），
∴a²=b²+b²（1+2cosA）=b²（2+2cosA），
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$＞0，
∴A＞B
∴A是锐角△ABC中的最大角或是第二大角，
∵在锐角△ABC中，A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），cosA∈（0，$\frac{1}{2}$），可得：2+2cosA∈（2，3），
∴$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2+2cosA}$∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故答案为：（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．

点评 此题考查了余弦定理，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．