Question

4．已知复数$z=\frac{1+ai}{{3-{i^{2017}}}}$是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． i
• D． -i

Answer 1

分析 i⁴=1，i²⁰¹⁷=（i⁴）⁵⁰⁴•i=i．可得复数$z=\frac{1+ai}{{3-{i^{2017}}}}$=$\frac{1+ai}{3-i}$，再利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：∵i⁴=1，∴i²⁰¹⁷=（i⁴）⁵⁰⁴•i=i．
复数$z=\frac{1+ai}{{3-{i^{2017}}}}$=$\frac{1+ai}{3-i}$=$\frac{（1+ai）（3+i）}{（3-i）（3+i）}$=$\frac{3-a+（3a+1）i}{10}$是纯虚数，
∴$\frac{3-a}{10}$=0，$\frac{3a+1}{10}$≠0，解得a=3．
∴z=i．
故选：C．

点评 本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．