Question

13．设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n和．
（1）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（2）求数列{a_n}的通项公式
（3）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ为非零整数，n∈N*）试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，…①
              a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，…②
①-②得${{a}_{n}}^{3}=（{s}_{n}-{s}_{n-1}）（{s}_{n}+{s}_{n-1}）$=a_n（s_n+s_n-1），即可得a_n²=2S_n-a_n；
 （2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n…③
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1…④
③-④得 数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
（3）b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ$＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．分n为奇数，n为偶数讨论即可．

解答 解：（1）证明：由已知得，当n=1时，${{a}_{1}}^{3}={{a}_{1}}^{2}$
∴a₁＞0，∴a₁=1
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，…①
              a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，…②
①-②得${{a}_{n}}^{3}=（{s}_{n}-{s}_{n-1}）（{s}_{n}+{s}_{n-1}）$=a_n（s_n+s_n-1）
∵a_n＞0，∴${{a}_{n}}^{2}={s}_{n}+{s}_{n-1}$
又∵s_n-1=s_n-a_n，∴a_n²=2S_n-a_n；
当n=1时，a₁=1适合上式．
综上，a_n²=2S_n-a_n
（2）由（1）得a_n²=2S_n-a_n…③
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1…④
③-④得${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}$=2（s_n-s_n-1）-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
∴a_n=n；
（3）∵a_n=n，∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2${\;}^{{a}_{n}}$=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ．
要使b_n+1＞b_n成立．即${b}_{n+1}-{b}_{n}={3}^{n+1}-{3}^{n}+（-1）^{n}λ•{2}^{n+1}$-（-1）^n-1λ•2ⁿ
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0成立．
可得（-1）^n-1λ$＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$恒成立．
①当n为奇数时，$λ＜（\frac{3}{2}）^{n-1}$，即$λ＜（\frac{3}{2}）^{0}=1$
②当n为偶数时，$λ＞-（\frac{3}{2}）^{n-1}$，∴$λ＞-\frac{3}{2}$．
∴$-\frac{3}{2}＜λ＜1$，且λ为非零整数，∴λ=-1．

点评 本题考查了数列的递推式、数列不等式的恒成立问题，考查了转化思想、运算能力，属于中档题，