Question

18．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA₁的中点．以△PQR为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在此正方体的表面上．则这个直三棱柱的体积是$\frac{3}{16}$．

Answer 1

分析 该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A₁B₁C₁D₁、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，记为M、N、H，则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，求解三角形求得高和底面积，代入柱体体积公式得答案．

解答 解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P，Q，R分别是棱AB，AD，AA₁的中点，
以△PQR为底面作直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），
∴该直三棱柱的另一底面三个顶点分别是面A₁B₁C₁D₁、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，记为M、N、H，
则三这个棱柱的高h=PH=RM=QN，
这个三棱柱的高h=RM=$\sqrt{R{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
底面正三角形PQR的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，面积为$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{8}$．
∴这个直三棱柱的体积是$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{16}$．
故答案为：$\frac{3}{16}$．

点评 本题考查三棱柱的体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．