Question

已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，设函数G（x）=f（x）-g（x）-1．
（1）求证：函数f（x）-g（x）必有零点
（2）若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，求实数m的取值范围；
（3）是否存在整数a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我们易给出函数f（x）-g（x）的零点，判断对应方程的△与0的关系，易得结论．
（2）由函数f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我们易给出函数G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是减函数，根据对折变换函数图象的特征，我们分△≤0和△＞0两种情况进行讨论，可得到满足条件的m的取值范围；
（3）若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，则

G(a)=a G(b)=b a≤ 4(2-m)+(m-2)2 4 ≤b

，将a，b代入消去m，可以求出a，b的值．

解答： 证明：（1）f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
则△=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函数f（x）-g（x）必有零点．
解：（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
令G（x）=0，△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
当△≤0，即2≤m≤6时，G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x²-（m-2）x+m-2．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，所以

m-2

2

≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
当△＞0，即m＜2或m＞6时，|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-2|．
因为|G（x）|在[-1，0]上是减函数，
所以方程x²-（m-2）x+m-2=0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=

m-2

2

≤-1．
所以

m-2＞0 m-2 2 ＞0

或

m-2＜0 m-2 2 ≤-1

，解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
综上可得，实数m的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
（3）因为a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以

G(a)=a G(b)=b

，
由

-a2+(m-2)a+2-m=a -b2+(m-2)b+2-m=b

消去m，得ab-2a-b=0，显然b≠2．
所以a=

b

b-2

=1+

2

b-2

．     
因为a，b均为整数，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得

a=3 b=3

或

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

或

a=0 b=0

，
因为a＜b，且a≤

4(2-m)+(m-2)2

4

≤b
所以

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

点评：本题考查的知识点是函数的零点，函数图象的对折变换，函数的单调性，函数的值域，（1）中解答的关键是“三个二次”之间的辩证关系，即函数有零点，则对应的方程有根；（2）的切入点是函数图象对折变换后的函数图象特征；（3）中消参思想是解答的关键．