Question

16．已知曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立直角坐标系，直线l的
参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+at\\ y=2+t\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）直线l与曲线C交于B，D两点，当|BD|取到最小值时，求a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程：x²+y²=6y，配方可得圆心C（0，3），半径r=3．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+at}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2）由直线l经过定点P（1，2），此点在圆的内部，因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k₁，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，即ρ²=6ρsinθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=6y，配方为：x²+（y-3）²=9，圆心C（0，3），半径r=3．
直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+at}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得：x-ay+2a-1=0．
（2）由直线l经过定点P（1，2），此点在圆的内部，
因此当CP⊥l时，|BD|取到最小值，则${k_{CP}}•{k_1}=\frac{2-3}{1-0}×{k_1}=-1$，解得k₁=1．
∴$\frac{1}{a}=1$，解得a=1．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．