Question

18．已知直线y=x+m和圆x²+y²=1交于A、B两点，O为坐标原点，若$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}$，则实数m=（　　）

• A． ±1
• B． $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $±\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出m．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得2x²+2mx+m²-1=0，
∵直线y=x+m和圆x²+y²=1交于A、B两点，O为坐标原点，
∴△=4m²+8m²-8=12m²-8＞0，解得m＞$\frac{\sqrt{6}}{3}$或m＜-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-m，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-1}{2}$，
y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²，
$\overrightarrow{AO}$=（-x₁，-y₁），$\overrightarrow{AB}$=（x₂-x₁，y₂-y₁），
∵$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=${{x}_{1}}^{2}-{x}_{1}{x}_{2}$+y₁²-y₁y₂=1-$\frac{{m}^{2}-1}{2}$-$\frac{{m}^{2}-1}{2}$+m²-m²=2-m²=$\frac{3}{2}$，
解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积的合理运用．