Question

7．在一次高三数学模拟测验中，对本班“选考题”选答情况进行统计结果如下：

	选修4-1	选修4-4	选修4-5
男生（人）	10	6	4
女生（人）	2	6	14

（Ⅰ）在统计结果中，如果把“选修4-1”和“选修4-4”称为“几何类”，把“选修4-5”称为“非几何类”，能否有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关？
（Ⅱ）已知本班的两名数学课代表都选答的是“选修4-5”，现从选答“选修4-1”、“选修4-4”和“选修4-5”的同学中，按分层抽样的方法随机抽取7人，记抽取到数学课代表的人数为X，求X得分布列及数学期望．
附：．

P（k2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论；
（Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得2×2列联表

	几何类	非几何类	合计
男生（人）	16	4	20
女生（人）	8	14	22
合计（人）	24	18	42

${K^2}=\frac{{42{{（{16×14-4×8}）}^2}}}{24×18×22×20}≈8.145≥6.635$
所以根据此统计有99%的把握认为学生选答“几何类”与性别有关．…（6分）
（Ⅱ）根据分层抽样得，在选答“选修4-1”“选修4-4”和“选修4-5”的同学中分别抽取2名，2名，3名，依题意知X的可能取值为0，1，2，
$P（{X=0}）=\frac{{C_{12}^2C_{12}^2C_{16}^3}}{{C_{12}^2C_{12}^2C_{18}^3}}=\frac{35}{51}$，$P（{X=1}）=\frac{{C_{16}^2C_2^1}}{{C_{18}^3}}=\frac{5}{17}$，$P（{X=2}）=\frac{{C_{16}^1C_2^2}}{{C_{18}^3}}=\frac{1}{51}$，

X	0	1	2
P（X）	$\frac{35}{51}$	$\frac{5}{17}$	$\frac{1}{51}$

所以X的分布列为$E（X）=\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查分层抽样，考查分布列及数学期望，考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个中档题．