Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中不正确的是（　　）

• A、y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
• B、y=f（x）的图象关于x=

  π

  2

  对称
• C、f（x）的最大值为

  3

  2

• D、f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer 1

考点：二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用二倍角公式与三角函数间的关系可将函数f（x）=cosxsin2x转化为f（x）=2sinx-2sin³x，再对A、B、C、D四个选项逐一分析即可．

解答： 解：f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，
对于A：∵f（π-x）+f（π+x）=（2sinx-2sin³x）-（2sinx-2sin³x）=0，
∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，即A正确；
对于B：∵f（π-x）=2sinx-2sin³x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=

π

2

对称，即B正确；
对于C：y′=-sinxsin2x+2cosxcos2x
=-2sin²xcosx+2cosx（1-2sin²x）
=-6sin²xcosx+2cosx，
令y′=0得：（3sin²x-1）cosx=0，
∴当sinx=

3

3

时取得最大值

4 3

9

，故C错误；
对于D：∵f（-x）=f（x），∴是奇函数，又f（x+2π）=f（x），故是周期为2π的周期函数，故D正确；
故选：C．

点评：本题考查二倍角公式与三角函数间的关系，着重考查三角函数的周期性、对称性、奇偶性及最值的综合应用，属于难题．