Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为4+2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer 1

分析 （ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得$2a+2c=4+2\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，△＞0，即4k²-m²+1＞0．由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k²．解得k．利用弦长公式与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得$2a+2c=4+2\sqrt{3}$，
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²，
解得$a=2，c=\sqrt{3}，b=1$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.$，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
则△=64k²m²-16（1+4k²）（m²-1）=16（4k²-m²+1）＞0，即4k²-m²+1＞0，
且${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}$，
故${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}$．
∵直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
∴$\frac{y_1}{x_1}•\frac{y_2}{x_2}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}={k^2}$．
即$\frac{{-8{k^2}{m^2}}}{{1+4{k^2}}}+{m^2}=0$，又m≠0，∴${k^2}=\frac{1}{4}$，即$k=±\frac{1}{2}$，
又∵4k²-m²+1＞0，∴0＜m²＜2，由于直线OP，OQ的斜率存在，∴m²≠1．
故${S_{△OPQ}}=\frac{1}{2}|{{x_1}-{x_2}}|•|m|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}|m|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（\frac{-8km}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4×\frac{{4（{m^2}-1）}}{{1+4{k^2}}}}•|m|$=$\sqrt{{m^2}（2-{m^2}）}$．
令t=m²，则0＜t＜2，且t≠1，记f（t）=t（2-t）=-t²+2t，
∴f（t）的值域为（0，1）．
故△OPQ面积的取值范围为（0，1）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、斜率计算公式、等比数列的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．