Question

13．设函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0），若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=-9x+8相切，
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在[-3，3]的最值．

Answer 1

分析 （1）根据曲线y=f（x）在点（1，f（1））处与直线y=-9x+8相切，求出导数，可得f（1）=-1，f′（1）=-9，建立条件关系即可求a，b的值；
（2）根据函数最值的求法：先求导数，求得极值，再求端点的函数值，即可求出函数f（x）在区间[-3，3]上的最值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x³-3ax+b的导数为f′（x）=3x²-3a，
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3-3a=-9，
解得a=4，
又f（1）=-1，即有1-3a+b=-1，解得b=10，
则a=4，b=10；
（2）f（x）=x³-12x+10的导数为f′（x）=3x²-12，
令f′（x）=0，解得x=±2，
由f（-3）=-27+36+10=19，f（-2）=-8+24+10=26，
f（2）=8-24+10=-6，f（3）=27-36+10=1，
则f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-2）=26，最小值为f（2）=-6．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于基础题．