Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，-1），若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（2）求函数y=f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内的值域．

Answer 1

分析 利用向量的数量积运算法则，二倍角公式，和差角公式，将函数解析式化为正弦型函数的形式．
（1）由条件利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出相位角的范围，结合正弦函数的图象和性质，求得f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]内的值域

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{b}$=（sinx+cosx，-1），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2cosx（sinx+cosx）-1
=2sin xcos x+2cos²x-1
=sin 2x+cos 2x
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），…（4分）
（1）当2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，k∈Z．
所以f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z…（8分）
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
知2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
从而sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1]
故所求值域为[-1，$\sqrt{2}$]…（12分）

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、定义域和值域，向量的数量积，二倍角公式，和差角公式，是平面向量与三角函数的综合应用，难度中档．