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过抛物线y2=2x内的任意一点Q(s,t)(t2<2s)作两条相互垂直的弦AB,CD,若弦AB,CD的中点分别为M,N,直线MN恒过定点(  )
A.(s+1,0)B.(|1-s|,0)C.(1+2s,0)D.(|1-2s|,0)
不妨取Q点是抛物线的焦点(
1
2
,0).
设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4
把直线AB:y=k(x-
1
2
)代入y2=2x,得
k2x2-(k2+2)x+
1
4
k2=0,
∴x3=
x1+x2
2
=
1
2
+
1
k2
,y3=k(x3-
1
2
)=
1
k

同理可得,x4=
1
2
+k2,y4=-k,
∴kMN=
y3-y4
x3-x4
=
k
1-k2

∴直线MN为y-
1
k
=
k
1-k2
(x-
1
2
-
1
k2
),即y=
k
1-k2
(x-
3
2
),
结合直线方程的点斜式,可得直线恒过定点P(
3
2
,0),
对照Q点是抛物线的焦点(
1
2
,0),定点P可以写成(
1
2
+1,0).
故选A.
练习册系列答案
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A.5B.2C.
17
D.
10

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|MN|
|AB|
的最大值为(  )
A.
3
3
B.1C.
2
3
3
D.2

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