Question

20．设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x-6≤0\\|{x+1}|＞3.\end{array}\right.$
（1）若a=1，p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别求出关于p，q的不等式的解集，取交集即可；（2）结合集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，
∴p为真命题时，实数x的取值范围：1＜x＜3，
又∵命题q：实数x满足$\left\{\begin{array}{l}x2-x-6≤0\\|x+1|＞3\end{array}$
由$\left\{\begin{array}{l}x2-x-6≤0\\|x+1|＞3\end{array}$解得$\left\{\begin{array}{l}-2≤x≤3\\ x＜-4或x＞2\end{array}$，
∴所以q为真时，实数x的取值范围：2＜x≤3，
∵若p且q为真，
∴p真q真，则$\left\{\begin{array}{l}1＜x＜3\\ 2＜x≤3\end{array}$
∴2＜x＜3，
∴实数x的取值范围是（2，3）．
（2）由（1）得：
p：a＜x＜3a，q：2＜x≤3，
若q是p的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{2≥a}\\{3＜3a}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤2；
故a∈（1，2]．

点评 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题以及集合的运算，是一道中档题．