Question

5．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}sinπx，x≤0}\\{cos2πx，x＞0}\end{array}\right.$，其图象在区间[-a，a]（a＞0）上至少存在10对关于y轴对称的点，则a的值不可能为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 5
• C． $\frac{11}{2}$
• D． 6

Answer 1

分析 将x≤0时，f（x）的图象对称到y的右侧，与x＞0时，f（x）=cos2πx的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：由题意，当x≤0时，f（x）=$\frac{1}{2}$sinπx，其周期为2，x＞0时，f（x）=cos2πx，其周期为1．
将x≤0时，f（x）的图象对称到y的右侧，与x＞0时，f（x）=cos2πx的图象至少存在10个交点，得到两个函数的图象，
如图所示，由图象可知，当a=$\frac{9}{2}$时，只有9个交点，B，C，D均符合题意，
故选：A．

点评 本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．