Question

已设函数f（x）=

ex

x2+ax+a

，其中a为实数．
（Ⅰ）当a=0时，若直线l过（2，0）与f（x）相切，求直线l的方程；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（Ⅲ）当f（x）的定义域为R时，求f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出a=0时的函数的导数，设出切点，求出切线的斜率，由点在曲线上，和两点的斜率公式，列出方程，解得切点的横坐标，即可得到切线方程；
（Ⅱ）f（x）的定义域为R，说明分母不为零，利用判别式直接求a的取值范围；
（Ⅲ）f（x）的定义域为R时，求导数，导数为0确定x的值，根据a的范围，确定导数的符号，求f（x）的单减区间．

解答： 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=

ex

x2

，f′（x）=

ex•(x-2)

x3

，
设切点为（m，n），则n=

em

m2

，且f′（m）=

em•(m-2)

m3

=

n-0

m-2

，
解得m=1或4，则切线的斜率为-e或

e4

32

，
故直线l的方程为：y=-ex+2e或y=

e4

32

x-

e4

16

；
（Ⅱ）f（x）的定义域为R，
∴x²+ax+a≠0恒成立，∴△=a²-4a＜0，∴0＜a＜4，
即当0＜a＜4时f（x）的定义域为R．
（Ⅲ）由题意可知：f′（x）=

x(x+a-2)•ex

(x2+ax+a)2

，
令f′（x）≤0，得x（x+a-2）≤0．
由f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
又∵0＜a＜4，∴0＜a＜2时，由f′（x）＜0得0＜x＜2-a；
当a=2时，f′（x）≥0；当2＜a＜4时，由f′（x）＜0得2-a＜x＜0，
即当0＜a＜2时，f（x）的单调减区间为（0，2-a）；
当2＜a＜4时，f（x）的单调减区间为（2-a，0）．

点评：本题考查函数的定义域及其求法，利用导数研究函数的单调性，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．