Question

本小题满分12分)
已知函数f (x)=x³+ ax²－bx (a, b∈R) .
(1)若y=f (x)图象上的点(1，－)处的切线斜率为－4，求y=f (x)的极大值；
(2)若y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，求a + b的最小值.

Answer 1

解：(1)∵f ′(x)=x²+2ax－b ,
∴ 由题意可知：f ′(1)=－4且f (1)=－,
∴ 解得：…………………………2分

∴ f (x)=x³－x²－3x。
f ′(x)=x²－2x－3=（x+1）（x－3）.
令f ′(x)=0，得x₁=－1，x₂=3，……………3分
由此可知：

x	(－∞,－1)	－1	(－1, 3)	3	(3, +∞)
f ’(x)	+	0	－	0	+
f (x)	↗	f (x)极大5/3	↘	f (x) 极小	↗

∴ 当x=－1时, f (x)取极大值. …………………………6分
(2) ∵y=f (x)在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴f ′(x)=x²+2ax－b≤0在区间[－1，2]上恒成立.
根据二次函数图象可知f ′(－1)≤0且f ′(2)≤0，即：
也即…………………9分

作出不等式组表示的平面区域如图：
当直线z=a+b经过交点P(－, 2)时，
z=a+b取得最小值z=－+2=,
∴z=a+b取得最小值为……………………12分

略