Question

7．设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立，则λ的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{e}$
• B． $\frac{1}{2e}$
• C． $\frac{2}{e}$
• D． $\frac{e}{3}$

Answer 1

分析 由题意可得（e^λx-$\frac{lnx}{λ}$）_min≥0，设f（x）=e^λx-$\frac{lnx}{λ}$，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值．

解答 解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立，
即为（e^λx-$\frac{lnx}{λ}$）_min≥0，
设f（x）=e^λx-$\frac{lnx}{λ}$，x＞0，f′（x）=λe^λx-$\frac{1}{λx}$，
令f′（x）=0，可得e^λx=$\frac{1}{{λ}^{2}x}$，
由指数函数和反函数在第一象限的图象，
可得y=e^λx和y=$\frac{1}{{λ}^{2}x}$有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x=m处取得极小值，且为最小值．
即有e^λm=$\frac{1}{{λ}^{2}m}$，令e^λm-$\frac{lnm}{λ}$=0，
可得m=e，λ=$\frac{1}{e}$．
则当λ≥$\frac{1}{e}$时，不等式e^λx-$\frac{lnx}{λ}$≥0恒成立．
则λ的最小值为$\frac{1}{e}$．
另解：由于y=e^λx与y=$\frac{lnx}{λ}$互为反函数，
故图象关于y=x对称，考虑极限情况，y=x恰为这两个函数的公切线，
此时斜率k=1，再用导数求得切线斜率的表达式为k=$\frac{1}{λe}$，
即可得λ的最小值为$\frac{1}{e}$．
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．