Question

12．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，∠BAC=90°，∠A₁AC=60°，AB=AC=AA₁=2．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）当BC₁=4时，求直线B₁C与平面ADC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接A₁C，交AC₁于O，连接OD，证明OD∥A₁B，即可证明：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面ADC₁的法向量，利用向量方法，即可求直线B₁C与平面ADC₁所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：连接A₁C，交AC₁于O，连接OD，
∵D为BC的中点，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?，OD?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），D（1，1，0），C₁（0，3，$\sqrt{3}$），B₁（2，1，$\sqrt{3}$），C（0，2，0），
∴$\overline{AD}$=（1，1，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，3，$\sqrt{3}$），
设平面ADC₁的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{3y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），
∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，1，-$\sqrt{3}$），
∴直线B₁C与平面ADC₁所成角的正弦值=|$\frac{-2-1-3}{\sqrt{5}•\sqrt{4+1+3}}$|=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．