Question

2．已知双曲线C₁：x²-y²=a²（a＞0）关于直线y=x-2对称的曲线为C₂，若直线2x+3y=6与C₂相切，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{8}{5}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$

Answer 1

分析 求出曲线C₂的方程，利用直线2x+3y=6与C₂相切，△=0，则实数a的值可求．

解答 解：设C₂上的点为（x，y），关于直线y=x-2对称的点的坐标为（y+2，x-2），
代入双曲线C₁：x²-y²=a²，可得（y+2）²-（x-2）²=a²，
∵直线2x+3y=6与C₂相切，∴联立化简可得5x²+12x-108+9a²=0，△=144-20（-108+9a²）=0，
∵a＞0，∴a=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故选D．

点评 本题考查曲线的方程，考查直线与曲线位置关系的运用，属于中档题．