Question

5．已知等差数列{a_n}中，a₄=6，a₅+a₇=24．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和性质求出首项、公差，即可得到通项公式，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，求，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₅+a₇=26，∴2a₆=26，则a₆=13，
又a₄=7，则公差d=$\frac{{a}_{6}-{a}_{4}}{6-4}$=3，
由a₄=a₁+3d=7，得a₁=-2，
∴a_n=-2+3（n-1）=3n-5，
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴T_n=-2×（$\frac{1}{2}$）+1•（$\frac{1}{2}$）²+4•（$\frac{1}{2}$）³+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴$\frac{1}{2}$T_n=-2×（$\frac{1}{2}$）²+1•（$\frac{1}{2}$）³+4•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
两式相减得$\frac{1}{2}$T_n=-1+3×（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+3•（$\frac{1}{2}$）ⁿ-（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=-1+3•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{1}{2}$-（3n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴T_n=1-（3n+1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．