Question

18．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 ${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），可得n=1时，a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．可得2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1．即可得出．

解答 解：∵${S_n}=-{a_n}-{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+2$（n∈N^*），
∴n=1时，a₁=S₁=-a₁-1+2，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-a_n-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2-$[-{a}_{n-1}-（\frac{1}{2}）^{n-2}+2]$，
化为：a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1+$（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴2ⁿa_n-2^n-1a_n-1=1．
∴数列{2ⁿa_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴2ⁿa_n=1+n-1=n，
则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
故答案为：$\frac{n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．