Question

8．在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1，且n∈N₊．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意知：T_n=10ⁿ⁺²．可得a_n=lgT_n．
（2）由tan[（n+3）-（n+2）]=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{1+tan（n+3）tan（n+2）}$=tan1．可得tan（n+3）tan（n+2）=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{tan1}$-1．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由题意知：T_n=10ⁿ⁺²．
∴a_n=lgT_n=n+2．
（2）∵tan[（n+3）-（n+2）]=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{1+tan（n+3）tan（n+2）}$=tan1．
∴tan（n+3）tan（n+2）=$\frac{tan（n+3）-tan（n+2）}{tan1}$-1．
∴数列{b_n}的前n和S_n=tan（1+2）tan（1+3）+tan（2+2）tan（2+3）+…+tan（n+2）tan（n+3）
=$\frac{1}{tan1}$[tan（1+3）-tan（1+2）+tan（2+3）-tan（2+2）+…+tan（n+3）-tan（n+2）]-n
=$\frac{tan（n+3）-tan3}{tan1}$-n．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、对数运算性质、“裂项求和”方法、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．