Question

已知数列{a_n}，满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1，求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：构造数列{a_n+1+λa_n}成等比数列，求出前3项，利用等比数列的性质，直接求出λ的值，得出{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列，得到方程组，然后求数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：（1）因为数列{a_n}满足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N*），
设数列{a_n+1+λa_n}是等比数列，
∴前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ 
∴（7+λ）²=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n≥2时，{a_n+2a_n-1}是首项为15公比为3的等比数列，
{a_n-3a_n-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列．
得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，…①
a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1…②
由①-②得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．

点评：本题考查等比数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键，用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴．