Question

我国加入WTO时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p与关税的关系近似满足p（x）=2（1-kt）（x-b）²（其中t为关税的税率，且t∈[0，

1

2

]，x为市场价格，b，k为正常数），当t=

1

8

时的市场供应量曲线如图所示．
（1）根据图象，求b，k的值；
（2）设市场需求量为a，它近似满足a（x）=22-x，当p=a时的市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）能根据图象知

(1- k 8 )(5-b2)=0 (1- k 8 )(7-b2)=1

，即可求出k、b的值；
（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．

解答： 解：（1）由图象，知

(1- k 8 )(5-b)2=0 (1- k 8 )(7-b)2=1

，
∴b=5，k=6；
（2）p=a时，2（1-6t）（x-5）²=22-x，
∴2（1-6t）=

22-x

(x-5)2

，
令m=

1

x-5

（0＜m≤

1

4

），则2（1-6t）=17m²-m=17(m-

1

34

)2-

1

68

，
∵0＜m≤

1

4

，
∴m=

1

4

时，2（1-6t）_max=

13

16

，
∴1-6t≤

13

32

，
∴t≥

19

192

，
∴税率t的最小值为

19

192

．

点评：此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！