Question

设f（x）=sin²x-2acosx+1，最大值记为g（a），求g（a）的表达式及值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,二次函数在闭区间上的最值

专题：三角函数的求值

分析：f（x）=sin²x-2acosx+1=-（cosx+a）²+a²+2，当a＞1时，cosx=-1，函数f（x）取得最大值2a+1．当a＜-1时，cosx=1，函数f（x）取得最大值-2a+1．
当-1≤a≤1时，cosx=-a，函数f（x）取得最大值a²+2．即可得出g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，再利用一次函数与二次函数的单调性即可得出值域．

解答： 解：f（x）=sin²x-2acosx+1
=-cos²x-2acosx+2
=-（cosx+a）²+a²+2，
当a＞1时，cosx=-1，函数f（x）取得最大值2a+1．
当a＜-1时，cosx=1，函数f（x）取得最大值-2a+1．
当-1≤a≤1时，cosx=-a，函数f（x）取得最大值a²+2．
∴g（a）=

2a+1，a＞1 a2+2，-1≤a≤1 -2a+1，a＜-1

，
当a＞1时，g（a）＞3；
当-1≤a≤1时，2≤g（a）≤3；
当a＜-1时，g（a）＞3．
综上可得：g（a）的值域为[2，+∞）．

点评：本题考查了一次函数与二次函数的单调性、余弦函数的单调性、分段函数的性质，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．