Question

如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高.
（1）证明：平面；
（2）若，，，求三棱锥的体积；
（3）证明：平面.

Answer 1

（1）见解析；   （2）体积    （3）见解析

试题分析:（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.
试题解析:（1）证明：因为平面，
所以。
因为为△中边上的高，
所以。
因为，
所以平面。                          4分
（2）连结，取中点，连结。
因为是的中点，
所以。
因为平面，
所以平面。
则，
。                  8分
（3）证明：取中点，连结，。
因为是的中点，  所以。
因为，    所以，
所以四边形是平行四边形，
所以。
因为，      所以。
因为平面，
所以。
因为，  所以平面，
所以平面。                                          13分