Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D、E分别是BC、AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则

AD

•

EP

的取值范围是（　　）

• A、[-7，7]
• B、[-8，8]
• C、[-9，9]
• D、[-10，O]

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，利用简单的线性规划求得t=

AD

•

EP

的取值范围．

解答： 以CA所在的直线为x轴，以CB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A的坐标为（4，0），B的坐标为（0，2），
由线段的中点公式可得点D的坐标为（0，1），点E的坐标为（2，1），设点P的坐标为（x，y），
则由题意可得可行域为△ABC及其内部区域，故有

x≥0 y≥0 x 4 + y 2 ≤1

令t=

AD

•

EP

=（-4，1）•（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7．
故当直线y=4x+t-7过点A（4，0）时，t取得最小值为7-16+0=-9，
当直线y=4x+t-7过点B（0，2）时，t取得最大值为 7-0+2=9，
故t=则

AD

•

EP

的取值范围是[-9，9]，
故选C．

点评：本题主要考查向量与线性规划问题相结合的问题，利用线性规划解决范围问题是常用方法，考查了线段的中点公式，属于中档题．