Question

已知F₁、F₂分别为椭圆

x2

100

+

y2

64

=1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，-6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：
（1）|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值；
（2）|PM|+|PF₂|的取值范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出右准线，过点P作PN⊥l于点N，运用第二定义，可得PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|，再由三点共线可得距离最短，即可得到所求值；
（2）运用椭圆的第一定义，|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20，再由有向线段

MF1

的延长线即可得到最值．

解答： 解：（1）椭圆右准线l：x=

50

3

，过点P作PN⊥l于点N，
如图所示则由椭圆的第二定义知 

|PF2|

|PN|

=e=

3

5

，
于是|PN|=

5

3

|PF₂|，所以|PM|+

5

3

|PF₂|=|PM|+|PN|≥d（M，l），
其中d（M，l）表示点M到准线l的距离，
易求得：d（M，l）=

44

3

所以|PM|+

5

3

|PF₂|的最小值为

44

3

（此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点）
（2）由椭圆的定义知|PF₂|+|PF₁|=2a=20，
故|PM|+|PF₂|=|PM|-|PF₁|+20
1?|PM|-|PF₁|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|≤30（当且仅当P为有向线段

MF1

的延长线与椭圆的交点时取“=”）；
2?|PF₁|-|PM|≤|MF₁|=10，
故|PM|+|PF₂|=20-（|PF₁|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段

MF1

的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）   
综上可知，|PM|+|PF₂|的取值范围为[10，30]．

点评：本题考查椭圆的方程、定义和性质，注意运用椭圆的两个定义，以及两点之间线段最短，考查运算能力，属于中档题和易错题．