Question

点F为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点，若椭圆上存在点A使△AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3 -1

  2

• D、

  3

  -1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，写出焦点F的坐标，然后，根据△AOF为正三角形，建立等式，求解其离心率．

解答： 解：如下图所示：

设椭圆的右焦点为F，根据椭圆的对称性，得
直线OF的斜率为k=tan60°=

3

，
∴点P坐标为：（

1

2

c，

3

2

c），
代人椭圆的标准方程，得

c2 4

a2

+

3 4 c2

b2

=1，
∴b²c²+3a²c²=4a²b²，
∴e=

3

-1．
故选：D．

点评：本题重点考查了椭圆的概念和基本性质，属于中档题．求解离心率的解题关键是想法设法建立关于a，b，c的等量关系，然后，进行求解．