Question

已知双曲线x²-

y2

n

=1的离心率不小于

3

，则该双曲线的焦点到渐近线的最小距离为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，再由离心率公式，求得n的范围，再由渐近线方程和点到直线的距离公式，即可得到最小值．

解答： 解：双曲线x²-

y2

n

=1的a=1，b=

n

，c=

1+n

，
则离心率e=

c

a

=

1+n

≥

3

，则n≥2，
该双曲线的焦点（

1+n

，0）到渐近线y=

n

x的距离
d=

| n • 1+n |

1+n

=

n

≥

2

，
当且仅当n=2取得最小值

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质：离心率和渐近线，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．